Решение уравнения Лапласа с условиями Дирихле и Неймана в многоугольных областях

Данная курсовая работа посвящена решению краевой задачи уравнения Лапласа в многоугольных областях. Исследуются условие Дирихле и Неймана на границах, а также методы, применяемые для достижения решения. В работе рассматривается метод конформных отображений и его применение для упрощения задачи, что позволяет использовать известные решения для простых областей. Также анализируются интегральные формулы, помогающие решать задачи на границах, включая формулу Пуассона для задачи Неймана. Работа включает практическую часть, в которой представлены примеры решения уравнения Лапласа для различных конфигураций многоугольников, и как эти методы могут быть реализованы на компьютере.

Продукт

Создание программного кода для численного решения уравнения Лапласа в многоугольных областях с разными краевыми условиями, а также визуализация полученных решений.

Актуальность

Актуальность исследования заключается в важности применения уравнения Лапласа в различных областях науки и техники, а также в недостаточном количестве практических работ, посвященных многоугольным областям и их особенностям.

Цель

Исследовать и представить способы решения уравнения Лапласа в многоугольных областях с условиями Дирихле и Неймана, используя современный математический аппарат.

Задачи

1. Изучить теорию уравнения Лапласа и методы его решения. 2. Проанализировать краевые условия Дирихле и Неймана. 3. Рассмотреть метод конформных отображений. 4. Разработать численный алгоритм для решения уравнения в многоугольных областях. 5. Провести несколько примеров и испытаний алгоритма на разных графиках.

Предпросмотр документа

Наименование образовательного учреждения

Выполнил:ФИО

Руководитель:ФИО